Cześć! Rozumiem Twój stres, ale spokojnie – przejdziemy przez to krok po kroku. Twoim problemem jest często "rozszyfrowanie" polecenia, więc przy każdym zadaniu napiszę Ci „po ludzku”, co autor miał na myśli i jakich narzędzi (wzorów) użyć. Zanim zaczniemy, **ŚCIĄGAWKA ZE WZORÓW** (miej ją przed oczami): 1. $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$ (mnożenie tych samych podstaw -> **dodajesz** wykładniki) 2. $a^n : a^m = \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$ (dzielenie tych samych podstaw -> **odejmujesz** wykładniki) 3. $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$ (potęga do potęgi -> **mnożysz** wykładniki) 4. $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (minus w wykładniku „odwraca” liczbę do góry nogami) 5. $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ (ułamek w wykładniku to pierwiastek) --- ### Zadanie 1, strona 284 **Treść:** Oblicz. **O co chodzi:** Po prostu podnieś liczbę do potęgi, pamiętając o znakach. **Przykład a) $(-4)^5$** * **Analiza:** Masz liczbę ujemną podniesioną do potęgi nieparzystej (5). Wynik będzie ujemny. * **Krok 1:** Znak wyniku to minus. * **Krok 2:** Obliczamy $4^5 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 1024$. * **Wynik:** $-1024$. **Przykład c) $4^{-3}$** * **Analiza:** Masz minus w wykładniku. Używamy wzoru $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. * **Krok 1:** Likwidujemy minus, robiąc ułamek: $\frac{1}{4^3}$. * **Krok 2:** Obliczamy $4^3 = 64$. * **Wynik:** $\frac{1}{64}$. **Przykład e) $(1 \frac{1}{4})^6$** (zakładam, że chodzi o coś podobnego, w książce mogą być inne liczby, ale zasada ta sama). Jeśli masz ułamek mieszany, **zawsze** zamieniaj go na niewłaściwy. $1 \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$. Wtedy liczysz $(\frac{5}{4})^6$. --- ### Zadanie 2, strona 284 **Treść:** Przedstaw liczbę w postaci $2^m$. **O co chodzi:** Wynik ma wyglądać jak "2 do potęgi jakiejś". Wszystkie liczby w zadaniu (4, 8, 16, 32 itd.) musisz zamienić na potęgi dwójki. * $4 = 2^2$ * $8 = 2^3$ * $16 = 2^4$ **Przykład f) $4^3 \cdot 2^4 : 8^{-4}$** * **Krok 1 (Zamiana podstaw na 2):** * Zamiast $4$ wpisz $2^2$. Więc $4^3 = (2^2)^3$. * Zamiast $8$ wpisz $2^3$. Więc $8^{-4} = (2^3)^{-4}$. * Wyrażenie wygląda teraz tak: $(2^2)^3 \cdot 2^4 : (2^3)^{-4}$. * **Krok 2 (Mnożenie wykładników - wzór 3):** * $(2^2)^3 = 2^{2\cdot3} = 2^6$ * $(2^3)^{-4} = 2^{3\cdot(-4)} = 2^{-12}$ * Mamy: $2^6 \cdot 2^4 : 2^{-12}$. * **Krok 3 (Działania - wzory 1 i 2):** * Mnożenie to dodawanie wykładników: $6 + 4 = 10$. Mamy $2^{10} : 2^{-12}$. * Dzielenie to odejmowanie wykładników: $10 - (-12) = 10 + 12 = 22$. * **Wynik:** $2^{22}$. --- ### Zadanie 3, strona 284 **Treść:** Przedstaw liczbę w postaci $a^m$, gdzie $a \in N$. **O co chodzi:** To samo co wyżej, tylko sam musisz domyślić się, jaka będzie wspólna podstawa. Patrzysz na liczby: 3, 81, 9... Wszystkie dzielą się przez 3, więc podstawą będzie 3. **Przykład a) $3^4 \cdot (81 \cdot 9^{-6})^{-1}$** * **Krok 1 (Zamiana na potęgi trójki):** * $81 = 3^4$ * $9 = 3^2$, więc $9^{-6} = (3^2)^{-6} = 3^{-12}$. * **Krok 2 (Wstawiamy do nawiasu):** * $3^4 \cdot (3^4 \cdot 3^{-12})^{-1}$. * **Krok 3 (Robimy porządek w nawiasie):** * Mnożenie w nawiasie to dodawanie wykładników: $4 + (-12) = -8$. * Mamy: $3^4 \cdot (3^{-8})^{-1}$. * **Krok 4 (Potęgowanie nawiasu):** * $(-8) \cdot (-1) = 8$. * Mamy: $3^4 \cdot 3^8$. * **Krok 5 (Ostateczne dodawanie):** * $4 + 8 = 12$. * **Wynik:** $3^{12}$. --- ### Ćwiczenie 4, strona 286 **Treść:** Oblicz. **O co chodzi:** Tu pojawiają się pierwiastki w wykładnikach. Nie bój się ich, działają tak samo jak liczby całkowite. **Przykład a) $(5^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}}$** * **Wzór:** $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$. Musimy pomnożyć wykładniki. * **Krok 1:** Mnożymy $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}$. Wiemy, że $\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = x$, więc to daje 3. * **Krok 2:** Zostaje nam $5^3$. * **Krok 3:** $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$. * **Wynik:** $125$. **Przykład e) $7^{\sqrt{2}} \cdot 49^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$** (przykład z głowy, na bazie wzorów z tej strony) * Zamieniamy $49$ na $7^2$. * $(7^2)^{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = 7^{2 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})} = 7^{-\sqrt{2}}$ (dwójki się skróciły). * Mamy: $7^{\sqrt{2}} \cdot 7^{-\sqrt{2}}$. * Dodajemy wykładniki: $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$. * $7^0 = 1$. --- ### Zadanie 1, strona 287 **Treść:** Zapisz liczbę w postaci potęgi o podstawie 3. **O co chodzi:** Masz wynik zostawić w formie $3^{\text{coś tam}}$. Nie wyliczaj tego na kalkulatorze. **Przykład a) $3^4 \cdot 3^{1-\sqrt{2}}$** * **Zasada:** Mnożenie podstaw = dodawanie wykładników. * **Działanie:** $4 + (1-\sqrt{2})$. * **Obliczenie:** $4 + 1 - \sqrt{2} = 5 - \sqrt{2}$. * **Wynik:** $3^{5-\sqrt{2}}$. --- ### Zadanie 2, strona 287 **Treść:** Oblicz. **O co chodzi:** Wykonaj działania na potęgach. Wykładniki (te dziwne z pierwiastkami) powinny się ładnie zredukować. **Przykład a) $6^{1-\sqrt{2}} \cdot 6^{\sqrt{2}+1}$** * **Krok 1:** Podstawy są te same (6), jest mnożenie, więc **dodajemy** wykładniki. * **Działanie:** $(1-\sqrt{2}) + (\sqrt{2}+1)$. * **Redukcja:** $-\sqrt{2}$ i $+\sqrt{2}$ się kasują. Zostaje $1 + 1 = 2$. * **Krok 2:** Zapisujemy nową potęgę: $6^2$. * **Wynik:** $36$. --- ### Strona 288 (Funkcja wykładnicza) Tutaj nie ma wprost "Przykładu 3", są Przykład 1 i 2. Omówię je, a potem powiem o przesunięciach, bo to może być ten brakujący "przykład 3" (często nauczyciele biorą go z następnego tematu). **Przykład 1: Wykres funkcji $f(x) = 2^x$.** **O co chodzi:** Masz narysować krzywą, która bardzo szybko rośnie. * **Jak to zrobić na sprawdzianie?** Zrób tabelkę! * Dla $x=0$: $2^0 = 1$ (punkt $(0, 1)$ – bardzo ważny, wykres zawsze przez niego przechodzi). * Dla $x=1$: $2^1 = 2$ (punkt $(1, 2)$). * Dla $x=2$: $2^2 = 4$ (punkt $(2, 4)$). * Dla $x=-1$: $2^{-1} = \frac{1}{2}$ (punkt $(-1, \frac{1}{2})$). * **Własność:** Wykres nigdy nie dotknie osi X (poziomej kreski), ale będzie się do niej zbliżał z lewej strony. **Przykład 3 (prawdopodobnie chodzi o str. 292 - Przekształcenia wykresu):** **O co chodzi:** Jak przesunąć wykres funkcji $f(x) = 3^x$. * Jeśli masz wzór $g(x) = 3^{x-2}$, to przesuwasz wykres **w prawo** o 2. * Jeśli masz wzór $g(x) = 3^{x} + 1$, to przesuwasz wykres **w górę** o 1. * **Wektor:** Oznacza się go jako $[p, q]$. Dla $3^{x-p} + q$. * Liczba przy $x$ (ze zmienionym znakiem) to ruch lewo/prawo. * Liczba wolna na końcu to ruch góra/dół. --- ### Zadanie 2, strona 290 **Treść:** Punkt $P(2, 16)$ należy do wykresu funkcji $f(x) = a^x$. Czy punkt Q też należy? **O co chodzi:** Najpierw musisz znaleźć wzór funkcji (czyli obliczyć ile wynosi $a$), a potem sprawdzić inny punkt. * **Krok 1 (Znajdź $a$):** * Wzór ogólny: $y = a^x$. * Masz punkt $P(x=2, y=16)$. * Podstawiamy: $16 = a^2$. * Jaka liczba do kwadratu daje 16? Oczywiście 4 (bo podstawa $a$ musi być dodatnia). * **Mamy wzór funkcji:** $f(x) = 4^x$. * **Krok 2 (Sprawdź punkt Q):** * Dajmy na to, że w podpunkcie a) masz sprawdzić punkt $Q(\frac{1}{2}, 2)$. * Podstawiamy $x=\frac{1}{2}$ do naszego wzoru $4^x$. * $4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$. * Wyszło 2? W punkcie Q też igrek wynosi 2. * **Odp:** Tak, punkt Q należy do wykresu. --- ### Zadanie 3, strona 290 **Treść:** Punkt $P(2, 2)$ należy do wykresu $f(x) = a^x$. Czy punkt Q też? **O co chodzi:** To samo co wyżej, tylko trudniejsze liczby. * **Krok 1 (Znajdź $a$):** * Wzór: $y = a^x$. * Punkt $P(2, 2)$, czyli $x=2, y=2$. * Równanie: $2 = a^2$. * Jaka liczba do kwadratu daje 2? Pierwiastek z dwóch! * Więc $a = \sqrt{2}$. * **Wzór funkcji:** $f(x) = (\sqrt{2})^x$. * **Krok 2 (Sprawdź punkt Q):** * Dajmy na to punkt $Q(8, 8)$ (z podpunktu c). * Podstawiamy $x=8$ do wzoru $(\sqrt{2})^x$. * $(\sqrt{2})^8 = (2^{\frac{1}{2}})^8 = 2^{\frac{8}{2}} = 2^4 = 16$. * Wyszło 16. A w punkcie Q igrek wynosi 8. * $16 \neq 8$. * **Odp:** Punkt Q nie należy do wykresu. --- **Podsumowanie dla Ciebie na jutro:** 1. Uważaj na **minusy** w potęgach (robią ułamek). 2. Przy mnożeniu tych samych podstaw – **dodajesz** góry. 3. Przy potęgowaniu potęgi – **mnożysz** góry. 4. W zadaniach z wykresem: najpierw podstaw punkt P, żeby wyliczyć $a$, a dopiero potem sprawdzaj resztę. Powodzenia! Dasz radę! Cześć! Bardzo dobrze trafiłeś. Skoro jutro masz sprawdzian, skupimy się na konkretach. Będę Twoim nauczycielem. Przeanalizowałem materiały, które podesłałeś. To klasyczne zadania z funkcji wykładniczej: przesuwanie wykresów, równania i nierówności. Klucz do sukcesu na tym sprawdzianie to **sprowadzanie liczb do tej samej podstawy potęgi** (np. zamiana $4$ na $2^2$, $\frac{1}{3}$ na $3^{-1}$) oraz pamiętanie, jak przesuwamy wykresy. Lecimy po kolei z Twoją listą. --- ### Zadanie 3, strona 290 **Treść:** Punkt $P(2, 2)$ należy do wykresu funkcji $f(x) = a^x$. Czy punkt $Q$ też należy do wykresu funkcji $f$? a) $Q(1, 1)$ b) $Q(4, 4)$ c) $Q(8, 8)$ d) $Q(-8, \frac{1}{16})$ **Tłumaczenie (Krok po kroku):** 1. Najpierw musimy znaleźć wzór funkcji, czyli wyliczyć $a$. 2. Mamy wzór ogólny $f(x) = a^x$. 3. Podstawiamy współrzędne punktu $P(x, y)$, czyli $x=2, y=2$: $$2 = a^2$$ Skoro $a > 0$ (z definicji funkcji wykładniczej), to $a = \sqrt{2}$. **Wzór funkcji to:** $f(x) = (\sqrt{2})^x$. 4. Teraz sprawdzamy każdy punkt $Q(x, y)$, podstawiając jego $x$ do wzoru i patrząc, czy wyjdzie nam $y$. **Rozwiązanie:** **a) $Q(1, 1)$** Podstawiamy $x=1$ do wzoru $f(x) = (\sqrt{2})^x$: $f(1) = (\sqrt{2})^1 = \sqrt{2}$ Otrzymaliśmy $\sqrt{2}$, a w punkcie $Q$ igrekiem jest $1$. $\sqrt{2} \neq 1$. **Odp: Nie.** **b) $Q(4, 4)$** Podstawiamy $x=4$: $f(4) = (\sqrt{2})^4 = (2^{1/2})^4 = 2^2 = 4$. Otrzymaliśmy $4$, w punkcie $Q$ też jest $4$. **Odp: Tak.** **c) $Q(8, 8)$** Podstawiamy $x=8$: $f(8) = (\sqrt{2})^8 = (2^{1/2})^8 = 2^4 = 16$. Otrzymaliśmy $16$, a w punkcie $Q$ jest $8$. **Odp: Nie.** **d) $Q(-8, \frac{1}{16})$** Podstawiamy $x=-8$: $f(-8) = (\sqrt{2})^{-8} = (2^{1/2})^{-8} = 2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$. Otrzymaliśmy $\frac{1}{16}$, w punkcie $Q$ też jest $\frac{1}{16}$. **Odp: Tak.** --- ### Ćwiczenie 1, strona 292 **Treść:** Naszkicuj wykres funkcji $g$. Podaj zbiór wartości funkcji i równanie asymptoty poziomej jej wykresu. a) $g(x) = 3^x - 2$ b) $g(x) = 2^x + 1$ c) $g(x) = (\frac{1}{2})^x + 2$ **Teoria:** Jeśli mamy funkcję $f(x) = a^x$ i przesuwamy ją o wektor $[0, q]$ (czyli w górę lub w dół), otrzymujemy $g(x) = a^x + q$. * **Asymptota pozioma** to prosta $y = q$. * **Zbiór wartości (ZW)** to przedział $(q; \infty)$. **Rozwiązanie:** **a) $g(x) = 3^x - 2$** * Wykres $y=3^x$ przesuwamy o **2 jednostki w dół**. * Asymptota: **$y = -2$** * Zbiór wartości: **$ZW = (-2; \infty)$** **b) $g(x) = 2^x + 1$** * Wykres $y=2^x$ przesuwamy o **1 jednostkę w górę**. * Asymptota: **$y = 1$** * Zbiór wartości: **$ZW = (1; \infty)$** **c) $g(x) = (\frac{1}{2})^x + 2$** * Wykres $y=(\frac{1}{2})^x$ (malejąca) przesuwamy o **2 jednostki w górę**. * Asymptota: **$y = 2$** * Zbiór wartości: **$ZW = (2; \infty)$** --- ### Ćwiczenie 2, strona 292 **Treść:** Naszkicuj wykres funkcji $g$. Podaj odciętą ($x$) punktu należącego do wykresu funkcji $g$, jeśli rzędna ($y$) tego punktu jest równa 1. a) $g(x) = 3^{x-1}$ b) $g(x) = 2^{x+2}$ c) $g(x) = (\frac{1}{2})^{x-1}$ **Teoria:** Wzór $g(x) = a^{x-p}$ oznacza przesunięcie wykresu o wektor $[p, 0]$ (w prawo lub w lewo). Zadanie prosi o obliczenie $x$, gdy $g(x) = 1$. **Rozwiązanie:** **a) $g(x) = 3^{x-1}$** (przesunięcie $y=3^x$ o 1 w prawo) Rozwiązujemy równanie: $3^{x-1} = 1$ Pamiętaj, że $1 = 3^0$. $3^{x-1} = 3^0$ $x - 1 = 0 \Rightarrow \mathbf{x = 1}$ **b) $g(x) = 2^{x+2}$** (przesunięcie $y=2^x$ o 2 w lewo) $2^{x+2} = 1$ $2^{x+2} = 2^0$ $x + 2 = 0 \Rightarrow \mathbf{x = -2}$ **c) $g(x) = (\frac{1}{2})^{x-1}$** (przesunięcie $y=(\frac{1}{2})^x$ o 1 w prawo) $(\frac{1}{2})^{x-1} = 1$ $(\frac{1}{2})^{x-1} = (\frac{1}{2})^0$ $x - 1 = 0 \Rightarrow \mathbf{x = 1}$ --- ### Zadanie 8, strona 293 **Treść:** Naszkicuj wykres funkcji $f$. Podaj jej miejsce zerowe oraz zbiór wartości. a) $f(x) = 2^{x-2} - 4$ ... (i kolejne podpunkty) **Metoda:** 1. Zbiór wartości odczytujemy z liczby na końcu wzoru ($q$). Jeśli przed $a^x$ jest plus, to $(q; \infty)$. Jeśli minus, to $(-\infty; q)$. 2. Miejsce zerowe: przyrównujemy wzór do 0. **Rozwiązanie:** **a) $f(x) = 2^{x-2} - 4$** * Asymptota $y=-4$, Zbiór Wartości: **$(-4; \infty)$** * Miejsce zerowe: $2^{x-2} - 4 = 0$ $2^{x-2} = 4$ $2^{x-2} = 2^2$ (porównujemy wykładniki) $x - 2 = 2 \Rightarrow \mathbf{x = 4}$ **c) $f(x) = \frac{1}{4}^{x} + 2$** (W książce jest chyba błąd w numeracji lub przepisałeś złą literę, robię wg zdjęcia: podpunkt c). Wait, na zdjęciu (str. 293) podpunkt c) to $f(x) = \frac{4}{2^x} + 2$, co można zapisać jako $4 \cdot 2^{-x} + 2$. Ale chwila, patrzę na zdjęcie **Zadanie 8/293** (Screenshot 10). Podpunkty to: a) $f(x) = 2^{x-2} - 4$ c) $f(x) = (\frac{1}{2})^x + 2$ (to nie ma miejsca zerowego, bo zbiór wartości to $(2, \infty)$) - czekaj, na zdjęciu jest: c) $f(x) = 4^{x} + 2$ ??? Nie, patrzę na zadanie 8 na dole strony 293. Ok, widzę: c) $f(x) = (\frac{1}{2x}) + 2$ - nieczytelne... a nie, to jest $f(x) = \frac{1}{2^x} + 2$ czyli $(\frac{1}{2})^x + 2$? Nie, to $4/(2^x) + 2$. **Poprawka:** Przeanalizujmy dokładnie zdjęcie 10, zadanie 8 na samym dole. c) $f(x) = \frac{4}{2^x} + 2 = 4 \cdot 2^{-x} + 2 = 2^2 \cdot 2^{-x} + 2 = 2^{2-x} + 2$. To funkcja wykładnicza przesunięta o 2 w górę. Zbiór wartości $(2; \infty)$. Miejsc zerowych **brak** (bo $2^{2-x} + 2 = 0 \Rightarrow 2^{2-x} = -2$, co jest sprzeczne). e) $f(x) = (\sqrt{2})^{2x} - 1$ $(\sqrt{2})^{2x} = ((\sqrt{2})^2)^x = 2^x$. Wzór to $f(x) = 2^x - 1$. * ZW: **$(-1; \infty)$** * Miejsce zerowe: $2^x - 1 = 0 \Rightarrow 2^x = 1 \Rightarrow 2^x = 2^0 \Rightarrow \mathbf{x = 0}$ b) $f(x) = 3^{x+1} - 1$ * ZW: **$(-1; \infty)$** * Mz: $3^{x+1} = 1 \Rightarrow 3^{x+1} = 3^0 \Rightarrow x+1=0 \Rightarrow \mathbf{x = -1}$ d) $f(x) = 3 - \frac{9}{3^x} = 3 - 9 \cdot 3^{-x} = 3 - 3^2 \cdot 3^{-x} = -3^{2-x} + 3$. * Tu mamy minus przed potęgą! Wykres jest odbity względem osi X i przesunięty o 3 w górę. * ZW: **$(-\infty; 3)$** * Mz: $3 - \frac{9}{3^x} = 0 \Rightarrow 3 = \frac{9}{3^x} \Rightarrow 3 \cdot 3^x = 9 \Rightarrow 3^{x+1} = 3^2 \Rightarrow x+1=2 \Rightarrow \mathbf{x = 1}$ f) $f(x) = 1 - 2^{-x+3} = -2^{-(x-3)} + 1$ * Minus przed potęgą -> wykres "do góry nogami". Przesunięty o 1 w górę. * ZW: **$(-\infty; 1)$** * Mz: $1 - 2^{-x+3} = 0 \Rightarrow 1 = 2^{-x+3} \Rightarrow 2^0 = 2^{-x+3} \Rightarrow 0 = -x+3 \Rightarrow \mathbf{x = 3}$ --- ### Ćwiczenie 1, strona 294 **Treść:** Naszkicuj wykres (moduł z całej funkcji). Podaj ZW i równanie asymptoty. a) $f(x) = |3^x - 2|$ b) $f(x) = |(\frac{1}{2})^{x+2} - 4|$ c) $f(x) = |- (\frac{1}{3})^{x-1} + 1|$ **Metoda:** Rysujemy to, co w środku. To, co wpadło pod oś X (jest ujemne), odbijamy symetrycznie nad oś X. **a) $f(x) = |3^x - 2|$** 1. Rysujemy $y = 3^x - 2$ (asymptota $y=-2$). 2. Część pod osią odbijamy. Asymptota $y=-2$ staje się asymptotą $y=2$ (ale tylko dla jednej gałęzi), ale "denko" funkcji jest na 0. 3. **ZW: $<0; \infty)$** (bo odbiliśmy to co ujemne, więc najniższy punkt to 0 w miejscu zerowym). 4. Asymptota pozioma: $y=2$. **b) $f(x) = |(\frac{1}{2})^{x+2} - 4|$** 1. Rysujemy $(\frac{1}{2})^{x+2} - 4$ (asymptota $y=-4$). 2. Odbijamy dół. Asymptota przeskakuje na $y=4$. 3. **ZW: $<0; \infty)$** 4. Asymptota pozioma: $y=4$. **c) $f(x) = |- (\frac{1}{3})^{x-1} + 1|$** 1. Wnętrze to $- (\frac{1}{3})^{x-1} + 1$. Wykres "do góry nogami", asymptota na $y=1$. 2. Ponieważ cała funkcja (oprócz kawałka) leży pod $y=1$ (i idzie do $-\infty$), po nałożeniu modułu wykres pójdzie do $+\infty$. 3. Asymptota $y=1$ pozostaje bez zmian (bo 1 jest dodatnie). 4. **ZW: $<0; \infty)$** --- ### Ćwiczenie 2, strona 294 **Treść:** Naszkicuj wykres (moduł z $x$). Podaj ZW. a) $f(x) = -3^{|x|}$ b) $f(x) = (\frac{1}{4})^{|x|} - 1$ c) $f(x) = - (\frac{1}{2})^{|x|} + 3$ **Metoda:** Funkcja $f(|x|)$ jest **parzysta** (symetryczna względem osi Y). 1. Rysujemy wykres dla $x \ge 0$ (czyli zwykły wzór, ignorując moduł). 2. Odbijamy tę prawą stronę na lewą stronę (jak w lustrze względem osi Y). Lewą stronę oryginalną zmazujemy. **a) $f(x) = -3^{|x|}$** 1. Dla $x \ge 0$ mamy $y = -3^x$ (malejąca "pod ziemię" od -1 w dół). 2. Odbijamy na lewo. Powstaje "szpic" w punkcie $(0, -1)$. 3. **ZW: $(-\infty; -1>$** **b) $f(x) = (\frac{1}{4})^{|x|} - 1$** 1. Dla $x \ge 0$ mamy $(\frac{1}{4})^x - 1$. Zaczyna w $(0, 0)$ i maleje do asymptoty $y=-1$. 2. Odbijamy na lewo. Mamy "górkę" w $(0,0)$ i opada w obie strony do -1. 3. **ZW: $(-1; 0>$** **c) $f(x) = - (\frac{1}{2})^{|x|} + 3$** 1. Dla $x \ge 0$: $-(\frac{1}{2})^x + 3$. Zaczyna w $x=0 \rightarrow -1+3=2$. Rośnie do asymptoty $y=3$ (bo $(\frac{1}{2})^x$ maleje do 0, a jest minus, więc rośnie "od dołu"). 2. Odbijamy na lewo. Wykres wygląda jak "wulkan" ze szczytem w $y=2$ i podstawą na asymptocie $y=3$?? Czekaj. Dla $x \to \infty$, $(\frac{1}{2})^x \to 0$, więc $y \to 3$. Punkt $(0, 2)$. Wykres idzie od 2 w górę do asymptoty 3 po obu stronach. 3. **ZW: $<2; 3)$** --- ### Zadanie 1, strona 295 **Treść:** Podaj dziedzinę, ZW, przedziały monotoniczności. a) $f(x) = |2^x - 4|$ * Wykres $2^x$ przesunięty o 4 w dół, potem odbity. * Dziedzina: $\mathbb{R}$ * ZW: $<0; \infty)$ * Monotoniczność: Miejsce zerowe wnętrza: $2^x = 4 \Rightarrow x=2$. Dla $x < 2$ funkcja (po odbiciu) **maleje** (bo normalnie $2^x-4$ rośnie od -4 do 0, więc moduł maleje od 4 do 0). Dla $x > 2$ funkcja **rośnie**. c) $f(x) = |1 - 2^{x-2}|$ * Wnętrze zeruje się, gdy $1 = 2^{x-2} \Rightarrow x-2=0 \Rightarrow x=2$. * Dziedzina: $\mathbb{R}$ * ZW: $<0; \infty)$ * Dla $x < 2$ funkcja maleje. Dla $x > 2$ rośnie. (Podobnie jak wyżej). e) $f(x) = \frac{1}{3^{|x|}} + 2 = (\frac{1}{3})^{|x|} + 2$ * Dla $x \ge 0$ to malejąca funkcja od $1+2=3$ w dół do 2. * Wykres to "namiot" z czubkiem w $(0, 3)$ i ramionami opadającymi do $y=2$. * Dziedzina: $\mathbb{R}$ * ZW: $(2; 3>$ * Dla $x \in (-\infty; 0>$ funkcja rośnie. Dla $x \in <0; \infty)$ maleje. (Pozostałe podpunkty b, d, f analogicznie, stosując zasady z poprzednich ćwiczeń). --- ### Ćwiczenie 1, strona 296 (Równania wykładnicze) **Treść:** Rozwiąż równanie. Metoda: Musimy mieć tę samą podstawę. $a^{coś} = a^{inne} \Rightarrow coś = inne$. **a) $2^{x-3} = 16$** $2^{x-3} = 2^4$ $x - 3 = 4$ $\mathbf{x = 7}$ **b) $2^{x+5} = \frac{1}{2}$** $2^{x+5} = 2^{-1}$ $x + 5 = -1$ $\mathbf{x = -6}$ **c) $2^{3x-1} = 1024$** $1024 = 2^{10}$ $3x - 1 = 10$ $3x = 11$ $\mathbf{x = \frac{11}{3}}$ **d) $5^{2x+5} = 125$** $125 = 5^3$ $2x + 5 = 3$ $2x = -2$ $\mathbf{x = -1}$ **e) $7^{4x^2+1} = 49$** $49 = 7^2$ $4x^2 + 1 = 2$ $4x^2 = 1$ $x^2 = \frac{1}{4}$ $\mathbf{x = \frac{1}{2} \ lub \ x = -\frac{1}{2}}$ **f) $(\frac{2}{3})^{2-x^2} = \frac{9}{4}$** $\frac{9}{4} = (\frac{3}{2})^2 = (\frac{2}{3})^{-2}$ (odwracamy ułamek -> minus w potędze) $2 - x^2 = -2$ $-x^2 = -4$ $x^2 = 4$ $\mathbf{x = 2 \ lub \ x = -2}$ **g) $2^{x^3-x} = 1$** $1 = 2^0$ $x^3 - x = 0$ $x(x^2 - 1) = 0$ $x(x-1)(x+1) = 0$ $\mathbf{x \in \{-1, 0, 1\}}$ **h) $2^{x^3+x} = 4$** $4 = 2^2$ $x^3 + x = 2$ $x^3 + x - 2 = 0$ Zauważamy, że $1$ jest pierwiastkiem ($1+1-2=0$). Dzielimy wielomian przez $(x-1)$ lub zgadujemy. Po podzieleniu wyjdzie trójmian bez pierwiastków (delta ujemna). $\mathbf{x = 1}$ --- ### Ćwiczenie 2, strona 296 **a) $5^{3-x} = 25^{2x+3}$** $5^{3-x} = (5^2)^{2x+3}$ $5^{3-x} = 5^{4x+6}$ $3 - x = 4x + 6$ $-5x = 3$ $\mathbf{x = -0,6}$ **b) $2^{x+1} = \sqrt{2}^{1-x}$** $2^{x+1} = (2^{\frac{1}{2}})^{1-x}$ $x + 1 = \frac{1}{2}(1-x)$ (mnożymy razy 2) $2x + 2 = 1 - x$ $3x = -1$ $\mathbf{x = -\frac{1}{3}}$ **c) $9^{2x+2} = (\frac{1}{3})^{x+5}$** $(3^2)^{2x+2} = (3^{-1})^{x+5}$ $3^{4x+4} = 3^{-x-5}$ $4x + 4 = -x - 5$ $5x = -9$ $\mathbf{x = -1,8}$ **d) $0,125^{x+1} = 0,25^{2-x}$** Zmieniamy na ułamki zwykłe: $(\frac{1}{8})^{x+1} = (\frac{1}{4})^{2-x}$ Wspólna podstawa to 2 lub $\frac{1}{2}$. $(2^{-3})^{x+1} = (2^{-2})^{2-x}$ $-3(x+1) = -2(2-x)$ $-3x - 3 = -4 + 2x$ $-5x = -1$ $\mathbf{x = 0,2}$ **e) $7^{x^2+x} = 49^{2x+2}$** $7^{x^2+x} = (7^2)^{2x+2}$ $x^2 + x = 4x + 4$ $x^2 - 3x - 4 = 0$ $\Delta = 9 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 25$ $x_1 = \frac{3-5}{2} = -1$, $x_2 = \frac{3+5}{2} = 4$ $\mathbf{x \in \{-1, 4\}}$ **f) $121^{0,5-x} = 11^{x-x^2}$** $(11^2)^{0,5-x} = 11^{x-x^2}$ $2(0,5-x) = x - x^2$ $1 - 2x = x - x^2$ $x^2 - 3x + 1 = 0$ $\Delta = 9 - 4 = 5$ $\mathbf{x = \frac{3-\sqrt{5}}{2} \ lub \ x = \frac{3+\sqrt{5}}{2}}$ --- ### Ćwiczenie 3, strona 297 (Nierówności, podstawa > 1) **Ważne:** Jeśli podstawa $a > 1$, to **znak nierówności zostaje taki sam**. **a) $3^x \le \frac{1}{243}$** $3^x \le 3^{-5}$ (bo $243 = 3^5$) $\mathbf{x \le -5}$ **b) $2^x < \sqrt{8}$** $2^x < \sqrt{2^3} = 2^{\frac{3}{2}}$ $\mathbf{x < 1,5}$ **c) $7^x \ge 49\sqrt{7}$** $7^x \ge 7^2 \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ $7^x \ge 7^{2,5}$ $\mathbf{x \ge 2,5}$ **d) $3^{x+1} < 81$** $3^{x+1} < 3^4$ $x+1 < 4$ $\mathbf{x < 3}$ **e) $4^{2x+3} \ge 64$** $4^{2x+3} \ge 4^3$ $2x+3 \ge 3$ $2x \ge 0$ $\mathbf{x \ge 0}$ **f) $2^{x^2} \le 16$** $2^{x^2} \le 2^4$ $x^2 \le 4$ $x^2 - 4 \le 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) \le 0$ $\mathbf{x \in <-2; 2>}$ --- ### Ćwiczenie 4, strona 298 (Nierówności, podstawa < 1) **Ważne:** Jeśli podstawa $a \in (0; 1)$, to **odwracamy znak nierówności**. **a) $(\frac{2}{3})^x \le \frac{8}{27}$** $(\frac{2}{3})^x \le (\frac{2}{3})^3$ Odwracamy znak! $\mathbf{x \ge 3}$ **c) $0,25^{2x+1} \ge \frac{1}{64}$** $(\frac{1}{4})^{2x+1} \ge (\frac{1}{4})^3$ $2x+1 \le 3$ (odwracamy znak) $2x \le 2$ $\mathbf{x \le 1}$ **e) $(\sqrt{2}-1)^{x^2+x} < 1$** Zauważ, że $\sqrt{2} \approx 1,41$, więc podstawa $\approx 0,41$ (jest mniejsza od 1). $(\sqrt{2}-1)^{x^2+x} < (\sqrt{2}-1)^0$ $x^2 + x > 0$ (odwracamy znak) $x(x+1) > 0$ Miejsca zerowe: $0, -1$. Parabola ramiona w górę. $\mathbf{x \in (-\infty; -1) \cup (0; \infty)}$ **b) $0,75^x > \frac{16}{9}$** $(\frac{3}{4})^x > (\frac{4}{3})^2$ $(\frac{3}{4})^x > (\frac{3}{4})^{-2}$ $x < -2$ (odwracamy znak) **d) $0,2^{x^2} > 0,0016$** $(0,2)^{x^2} > (0,2)^4$ (bo $2^4=16$, cztery miejsca po przecinku) $x^2 < 4$ $\mathbf{x \in (-2; 2)}$ --- ### Zadanie 1, strona 298 (Równania - miks) **a) $(\frac{1}{2})^x = 2\sqrt{2}$** $2^{-x} = 2^1 \cdot 2^{0,5} = 2^{1,5}$ $-x = 1,5$ $\mathbf{x = -1,5}$ **b) $(\frac{3}{4})^x = (\frac{4}{3})^{x-1}$** $(\frac{3}{4})^x = ((\frac{3}{4})^{-1})^{x-1}$ $(\frac{3}{4})^x = (\frac{3}{4})^{-x+1}$ $x = -x + 1$ $2x = 1$ $\mathbf{x = 0,5}$ **c) $\frac{3^{x-3}}{27} = 9^{2x+2}$** $3^{x-3} : 3^3 = (3^2)^{2x+2}$ $3^{x-3-3} = 3^{4x+4}$ $x - 6 = 4x + 4$ $-3x = 10$ $\mathbf{x = -\frac{10}{3}}$ **d) $(\frac{27}{64})^{x+1} = 0,75^{3x+3}$** $\frac{27}{64} = (\frac{3}{4})^3$, a $0,75 = \frac{3}{4}$. $((\frac{3}{4})^3)^{x+1} = (\frac{3}{4})^{3x+3}$ $3(x+1) = 3x+3$ $3x + 3 = 3x + 3$ **Tożsamość (Równanie prawdziwe dla każdego $x \in \mathbb{R}$)** **e) $2 \cdot (\sqrt{2})^x = \frac{1}{4}$** $2^1 \cdot 2^{0,5x} = 2^{-2}$ $1 + 0,5x = -2$ $0,5x = -3$ $\mathbf{x = -6}$ **g) $\sqrt{0,2} \cdot 5^x = 125^x$** $(\frac{1}{5})^{0,5} \cdot 5^x = (5^3)^x$ $(5^{-1})^{0,5} \cdot 5^x = 5^{3x}$ $5^{-0,5 + x} = 5^{3x}$ $-0,5 + x = 3x$ $-2x = 0,5$ $\mathbf{x = -0,25}$ --- To solidna dawka zadań. Przeanalizuj to, zwróć uwagę na odwracanie znaku w nierównościach przy ułamkach (np. 0,5, 1/3) i pamiętaj o sprowadzaniu do wspólnej podstawy. Powodzenia jutro! Cieszę się, że poprzednie tłumaczenia pomogły! Skoro łapiesz już o co chodzi, to teraz pójdzie jeszcze sprawniej. Uzupełniam braki i lecimy z nowym materiałem. Logarytmy na początku mogą wydawać się dziwne, ale jak załapiesz definicję ("do jakiej potęgi podnieść dół, żeby wyszedł środek"), to stają się proste. Zaczynamy od zaległości z poprzedniej strony. --- ### Ćwiczenie 5, strona 298 (Nierówności wykładnicze) Musimy sprowadzić wszystko do jednej podstawy. **a) $(\frac{1}{2})^x \cdot 0,25 < 64$** * Zamieniamy wszystko na potęgi dwójki: $(\frac{1}{2})^x = 2^{-x}$ $0,25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}$ $64 = 2^6$ * Równanie: $2^{-x} \cdot 2^{-2} < 2^6$ * Przy mnożeniu dodajemy wykładniki: $2^{-x-2} < 2^6$ * Podstawa $2 > 1$, więc znak zostaje: $-x - 2 < 6$ $-x < 8$ (dzielimy przez -1, zmieniamy znak nierówności!) $\mathbf{x > -8}$ **b) $16^x \cdot 0,25^{2x} \ge \frac{3}{4}$** * Podstawa 4. $16^x = (4^2)^x = 4^{2x}$ $0,25 = \frac{1}{4} = 4^{-1}$, więc $0,25^{2x} = (4^{-1})^{2x} = 4^{-2x}$ * Lewa strona: $4^{2x} \cdot 4^{-2x} = 4^{2x-2x} = 4^0 = 1$ * Nierówność: $1 \ge \frac{3}{4}$ * To jest **zawsze prawda**. **Odp: $x \in \mathbb{R}$** (każda liczba rzeczywista). **c) $3^{-x} \cdot 6^x \cdot (\frac{1}{2})^x < 1$** * Rozpiszmy $6^x$ jako $(2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x$. * Lewa strona: $3^{-x} \cdot (2^x \cdot 3^x) \cdot 2^{-x}$ * Grupujemy trójki i dwójki: $(3^{-x} \cdot 3^x) \cdot (2^x \cdot 2^{-x}) = 3^0 \cdot 2^0 = 1 \cdot 1 = 1$. * Nierówność: $1 < 1$ * To jest **fałsz**. **Odp: Brak rozwiązań ($x \in \emptyset$).** --- ### Zadanie 3, strona 298 (Zadania - Nierówności) **a) $5^{\frac{x}{5}} < 625$** * $625 = 5^4$ * $5^{\frac{x}{5}} < 5^4$ (podstawa > 1, znak bez zmian) * $\frac{x}{5} < 4 \quad | \cdot 5$ * $\mathbf{x < 20}$ **b) $(\frac{2}{3})^{x+2} \le \frac{16}{81}$** * $\frac{16}{81} = (\frac{2}{3})^4$ * $(\frac{2}{3})^{x+2} \le (\frac{2}{3})^4$ * **UWAGA!** Podstawa $\frac{2}{3} < 1$, więc **odwracamy znak nierówności**. * $x + 2 \ge 4$ * $\mathbf{x \ge 2}$ **c) $4^{2x-1} \ge 64\sqrt{2}$** * Wspólna podstawa 2. $4^{2x-1} = (2^2)^{2x-1} = 2^{4x-2}$ $64\sqrt{2} = 2^6 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{6,5}$ * $2^{4x-2} \ge 2^{6,5}$ (podstawa > 1) * $4x - 2 \ge 6,5$ * $4x \ge 8,5$ * $x \ge \frac{8,5}{4} = 2,125$ * $\mathbf{x \ge 2,125}$ (lub $x \ge \frac{17}{8}$) --- ### LOGARYTMY - Wstęp teoretyczny Definicja, którą musisz mieć w głowie na sprawdzianie: $$\log_a b = c \iff a^c = b$$ Czytamy to: **"Do jakiej potęgi muszę podnieść $a$ (podstawę), żeby otrzymać $b$ (liczbę logarytmowaną)?"** Przykład: $\log_2 8 = ?$ -> Do jakiej potęgi podnieść 2, żeby wyszło 8? Do trzeciej. Więc wynik to 3. --- ### Ćwiczenie 1, strona 299 Oblicz. (Pytamy siebie: 2 do jakiej potęgi da tę liczbę?) **a) $\log_2 32 = 5$** (bo $2^5 = 32$) **b) $\log_2 2 = 1$** (bo $2^1 = 2$) **c) $\log_2 1 = 0$** (bo $2^0 = 1$ - pamiętaj, logarytm z 1 to zawsze 0) **d) $\log_2 \frac{1}{4} = -2$** (bo $2^{-2} = \frac{1}{4}$) **e) $\log_2 \frac{1}{64} = -6$** (bo $2^{-6} = \frac{1}{64}$) **f) $\log_2 \sqrt{2} = \frac{1}{2}$** (bo $2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$) **g) $\log_2 \sqrt{8}$** $\sqrt{8} = (2^3)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$. Wynik: **$\frac{3}{2}$ (lub 1,5)** **h) $\log_2 \sqrt[4]{4}$** $\sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2^2} = (2^2)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{2}{4}} = 2^{\frac{1}{2}}$. Wynik: **$\frac{1}{2}$** --- ### Ćwiczenie 2, strona 299 To samo, tylko inne podstawy. **a) $\log_3 81 = 4$** (bo $3^4 = 81$) **b) $\log_3 \frac{1}{9} = -2$** (bo $3^{-2} = \frac{1}{9}$) **c) $\log_3 \frac{1}{27} = -3$** (bo $3^{-3} = \frac{1}{27}$) **d) $\log_3 \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{2}$** (bo $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3^{1/2}} = 3^{-\frac{1}{2}}$) **e) $\log_9 3 = \frac{1}{2}$** (bo $\sqrt{9} = 3$, czyli $9^{\frac{1}{2}} = 3$) **f) $\log_9 \frac{1}{27}$** Szukamy $x$: $9^x = \frac{1}{27}$. $(3^2)^x = 3^{-3} \Rightarrow 3^{2x} = 3^{-3} \Rightarrow 2x = -3 \Rightarrow \mathbf{x = -1,5}$ **g) $\log_7 7\sqrt{7} = 1,5$** $7\sqrt{7} = 7^1 \cdot 7^{0,5} = 7^{1,5}$. **h) $\log_4 \frac{1}{8}$** $4^x = 2^{-3} \Rightarrow (2^2)^x = 2^{-3} \Rightarrow 2x = -3 \Rightarrow \mathbf{x = -1,5}$ **i) $\log_4 \sqrt{2} = 0,25$** ($4^x = 2^{0,5} \Rightarrow 2^{2x} = 2^{0,5} \Rightarrow 2x = 0,5 \Rightarrow x = 0,25$) **j) $\log_{\frac{1}{4}} 16 = -2$** (odwracamy $\frac{1}{4}$ potęgą -1 i podnosimy do kwadratu) **k) $\log_6 \sqrt[3]{36} = \frac{2}{3}$** $\sqrt[3]{36} = \sqrt[3]{6^2} = 6^{\frac{2}{3}}$ **l) $\log_6 216 = 3$** ($6^3 = 216$) --- ### Ćwiczenie 4, strona 300 Tutaj korzystamy z dwóch super ważnych własności: 1. $\log_a (a^c) = c$ (logarytm "zjada" podstawę potęgi, jeśli jest taka sama jak podstawa logarytmu). 2. $a^{\log_a b} = b$ (potęgowanie "zjada" logarytm, jeśli podstawy są te same). **a) $\log_2 2^{100} = 100$** **b) $\log_6 6^{15} = 15$** (na zdjęciu jest chyba 6, nie $\pi$) **c) $\log_{1,1} 1,1^{10} = 10$** **d) $\log_{\pi} \pi^{-3} = -3$** **e) $2^{\log_2 3} = 3$** (wzór nr 2) **f) $3^{\log_3 7} = 7$** **g) $0,4^{\log_{0,4} 10} = 10$** **h) $5^{\log_5 1} = 1$** --- ### Zadanie 1, strona 301 **a) $\log_2 64 = 6$** **b) $\log_2 512 = 9$** **c) $\log_2 \frac{1}{32} = -5$** ($2^5=32$, ułamek to minus) **d) $\log_2 \frac{1}{1024} = -10$** **e) $\log_2 0,125$** $0,125 = \frac{1}{8} = 2^{-3}$. Wynik: **-3** **f) $\log_4 2 = \frac{1}{2}$** ($4^{1/2} = \sqrt{4} = 2$) **g) $\log_4 8$** $4^x = 8 \Rightarrow (2^2)^x = 2^3 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow \mathbf{x = 1,5}$ **h) $\log_4 \frac{1}{1024} = -5$** ($4^5 = 1024$, ułamek to minus) **i) $\log_4 \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{4}$** (bo $4^{-1/4} = (2^2)^{-1/4} = 2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$) **j) $\log_{\sqrt{2}} 4 = 4$** (bo $(\sqrt{2})^4 = 2^2 = 4$) **k) $\log_{\sqrt{2}} 32 = 10$** (bo $(\sqrt{2})^{10} = 2^5 = 32$) **l) $\log_3 \sqrt{3} = \frac{1}{2}$** **m) $\log_3 \sqrt[4]{27} = \frac{3}{4}$** ($\sqrt[4]{3^3} = 3^{3/4}$) **n) $\log_3 \frac{1}{81} = -4$** **o) $\log_5 625 = 4$** **p) $\log_5 0,04$** $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 5^{-2}$. Wynik: **-2** --- ### Zadanie 4, strona 301 Pamiętaj: $\log x$ (bez podstawy) oznacza $\log_{10} x$. **a) $\log 1000 = 3$** ($10^3 = 1000$) **b) $\log 0,1 = -1$** ($10^{-1} = 0,1$) **c) $\log 10^6 = 6$** **d) $\log 0,0001 = -4$** (cztery miejsca po przecinku) **e) $\log \sqrt{10} = 0,5$** **f) $\log 10\sqrt{10} = 1,5$** ($10^1 \cdot 10^{0,5} = 10^{1,5}$) --- ### Zadanie 5, strona 301 Obliczamy każdy składnik oddzielnie. **a) $\log 100 + \log_4 \frac{1}{8}$** $\log 100 = 2$ $\log_4 \frac{1}{8} = -1,5$ (liczone wcześniej w 1g) Wynik: $2 + (-1,5) = \mathbf{0,5}$ **b) $\log 10^7 - \log_{0,5} 8$** $\log 10^7 = 7$ $\log_{0,5} 8$: $(1/2)^x = 8 \Rightarrow 2^{-x} = 2^3 \Rightarrow x = -3$. Wynik: $7 - (-3) = \mathbf{10}$ **c) $\log_6 \frac{1}{36} + \log \sqrt[3]{10}$** $\log_6 \frac{1}{36} = -2$ $\log 10^{1/3} = \frac{1}{3}$ Wynik: $-2 + \frac{1}{3} = \mathbf{-1\frac{2}{3}}$ **d) $\log_9 \sqrt{3} - \log_3 \sqrt[4]{3}$** $\log_9 \sqrt{3}$: $9^x = 3^{0,5} \Rightarrow 3^{2x} = 3^{0,5} \Rightarrow x = 0,25$ $\log_3 \sqrt[4]{3} = \frac{1}{4} = 0,25$ Wynik: $0,25 - 0,25 = \mathbf{0}$ **e) $\log_{1,5} \frac{9}{4} - \log_{\pi} 1$** $(\frac{3}{2})^x = \frac{9}{4} \Rightarrow x=2$. $\log_{\pi} 1 = 0$ Wynik: $2 - 0 = \mathbf{2}$ **f) $\log_2 1,5 - \log_{1,5} \frac{8}{27}$** To jest podchwytliwe. $\log_2 (3/2)$ jest trudne do policzenia w pamięci, ale... Czekaj, tam jest $\log_2 1,5$ czy $\log_2 1,5 \cdot \dots$? A, drugi człon to $\log_{1,5} \frac{8}{27} = \log_{3/2} (2/3)^3 = \log_{3/2} (3/2)^{-3} = -3$. Pierwszy człon: $\log_2 1,5$. Tego nie obliczymy ładnie. Czy na pewno dobrze przepisałem? Zdjęcie 18... Tak, $\log_2 1,5 - \log_{1,5} \frac{8}{27}$. Drugi człon to $-3$. Całość: $\log_2 1,5 - (-3) = \log_2 1,5 + 3$. Tak zostawiamy, chyba że masz kalkulator. (Na poziomie podstawowym raczej błąd w druku lub chodzi o przybliżenie, ale analitycznie drugi człon to -3). --- ### Zadanie 6, strona 301 Dla jakiej podstawy $a$ równanie jest prawdziwe? Definicja: $\log_a b = c \Rightarrow a^c = b$. **a) $\log_a 25 = 2$** $a^2 = 25 \Rightarrow \mathbf{a = 5}$ (podstawa musi być dodatnia) **b) $\log_a \frac{1}{8} = 3$** $a^3 = \frac{1}{8} \Rightarrow \mathbf{a = \frac{1}{2}}$ **c) $\log_a 0,25 = -1$** $a^{-1} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{1}{a} = \frac{1}{4} \Rightarrow \mathbf{a = 4}$ **d) $\log_a 64 = -3$** $a^{-3} = 64$ $a^{-3} = 4^3$ $a^{-3} = (\frac{1}{4})^{-3}$ $\mathbf{a = \frac{1}{4}}$ --- ### Zadanie 7, strona 301 Dla jakiej liczby $b$... Definicja: $a^c = b$. **a) $\log_2 b = 5$** $b = 2^5 = \mathbf{32}$ **b) $\log_{\frac{1}{4}} b = -1$** $b = (\frac{1}{4})^{-1} = \mathbf{4}$ **c) $\log_{27} b = \frac{2}{3}$** $b = 27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^2 = \mathbf{9}$ **d) $\log_7 b = 0$** $b = 7^0 = \mathbf{1}$ **e) $\log_{\frac{1}{16}} b = -\frac{3}{4}$** $b = (\frac{1}{16})^{-\frac{3}{4}} = (16)^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^3 = \mathbf{8}$ **f) $\log_{\sqrt{2}} b = -6$** $b = (\sqrt{2})^{-6} = (2^{\frac{1}{2}})^{-6} = 2^{-3} = \frac{1}{8}$ **g) $\log b = 6$** (podstawa 10) $b = 10^6 = \mathbf{1 \ 000 \ 000}$ **h) $\log b = -1$** $b = 10^{-1} = \mathbf{0,1}$ --- Masz teraz komplet. Przećwicz szczególnie te proste logarytmy (zad 1 i 2 str 299), bo to podstawa każdego zadania. Jak zapomnisz na sprawdzianie, pisz sobie z boku: $2^3 = 8 \Rightarrow \log_2 8 = 3$ i patrz, co gdzie stoi. Powodzenia! To już ostatnia prosta przed sprawdzianem! Wykonamy to zestawienie, żebyś poszedł spać ze spokojną głową. W tym zestawie wchodzimy głębiej w **własności logarytmów** (dodawanie, odejmowanie, potęgi) oraz **zmienianie podstawy**. Lecimy! --- ### Zadanie 8, strona 301 (Logarytmy zagnieżdżone) Robimy to jak cebulę – od środka na zewnątrz. **a) $\log_2 (\log 100)$** 1. Środek: $\log 100 = 2$ (bo $10^2 = 100$). 2. Zewnątrz: $\log_2 2 = \mathbf{1}$. **b) $\log_{0,1} (\log_2 1024)$** 1. Środek: $\log_2 1024 = 10$ (bo $2^{10} = 1024$). 2. Zewnątrz: $\log_{0,1} 10 = \mathbf{-1}$ (bo $(\frac{1}{10})^{-1} = 10$). **c) $\log_{\frac{1}{3}} (\log_2 8)$** 1. Środek: $\log_2 8 = 3$. 2. Zewnątrz: $\log_{\frac{1}{3}} 3 = \mathbf{-1}$ (bo $(\frac{1}{3})^{-1} = 3$). **d) $\log_{\sqrt{2}} (\log_{\frac{1}{6}} \frac{1}{36})$** 1. Środek: $\log_{\frac{1}{6}} \frac{1}{36} = 2$. 2. Zewnątrz: $\log_{\sqrt{2}} 2 = \mathbf{2}$ (bo $(\sqrt{2})^2 = 2$). **e) $\log_9 (\log_8 (\log_3 9))$** 1. Najgłębiej: $\log_3 9 = 2$. 2. Środek: $\log_8 2 = \frac{1}{3}$ (bo $\sqrt[3]{8} = 2$, czyli $8^{1/3}$). 3. Zewnątrz: $\log_9 \frac{1}{3}$. $9^x = 3^{-1} \Rightarrow (3^2)^x = 3^{-1} \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow \mathbf{x = -\frac{1}{2}}$. **f) $\log_8 (\log_{\frac{1}{4}} (\log_4 2))$** 1. Najgłębiej: $\log_4 2 = 0,5$ (bo $\sqrt{4}=2$). 2. Środek: $\log_{\frac{1}{4}} 0,5$. $(\frac{1}{4})^x = \frac{1}{2} \Rightarrow (2^{-2})^x = 2^{-1} \Rightarrow -2x = -1 \Rightarrow x = 0,5$. 3. Zewnątrz: $\log_8 0,5$. $8^x = \frac{1}{2} \Rightarrow (2^3)^x = 2^{-1} \Rightarrow 3x = -1 \Rightarrow \mathbf{x = -\frac{1}{3}}$. --- ### Ćwiczenie 2, strona 302 (Wzory na sumę i różnicę) Pamiętaj: $\log a + \log b = \log (a \cdot b)$ oraz $\log a - \log b = \log (a : b)$. **a) $\log_2 6 = 1 + \log_2 3$** Prawa strona: $1 + \log_2 3 = \log_2 2 + \log_2 3 = \log_2 (2 \cdot 3) = \log_2 6$. **Prawda.** **b) $\log 500 = 2 + \log 5$** Prawa strona: $\log 100 + \log 5 = \log (100 \cdot 5) = \log 500$. **Prawda.** **c) $\log_2 \frac{8}{3} = 3 - \log_2 3$** Prawa strona: $\log_2 8 - \log_2 3 = \log_2 \frac{8}{3}$ (bo $\log_2 8 = 3$). **Prawda.** **d) $\log 0,07 = -2 + \log 7$** Prawa strona: $\log \frac{1}{100} + \log 7 = \log (0,01 \cdot 7) = \log 0,07$. **Prawda.** --- ### Ćwiczenie 3, strona 303 (Obliczanie z własności) **a) $\log_6 4 + \log_6 9$** $= \log_6 (4 \cdot 9) = \log_6 36 = \mathbf{2}$. **b) $\log 8 + \log 125$** $= \log (8 \cdot 125) = \log 1000 = \mathbf{3}$. **c) $\log_3 54 - \log_3 2$** $= \log_3 (\frac{54}{2}) = \log_3 27 = \mathbf{3}$. **d) $\log_5 15 - \log_5 75$** $= \log_5 (\frac{15}{75}) = \log_5 \frac{1}{5} = \mathbf{-1}$. **e) $\log_7 19 - \log_7 \frac{19}{49}$** $= \log_7 (19 : \frac{19}{49}) = \log_7 (19 \cdot \frac{49}{19}) = \log_7 49 = \mathbf{2}$. **f) $\log_{\frac{1}{4}} 0,6 - \log_{\frac{1}{4}} 0,15$** $= \log_{\frac{1}{4}} (\frac{0,6}{0,15}) = \log_{\frac{1}{4}} 4 = \mathbf{-1}$. **g) $\log_5 0,04 - \log_5 0,008$** $= \log_5 (\frac{0,04}{0,008}) = \log_5 5 = \mathbf{1}$. **h) $\log 6 - \log 2 - \log 3$** $= \log (\frac{6}{2}) - \log 3 = \log 3 - \log 3 = \mathbf{0}$. **i) $\log \frac{7}{4} - \log 14 - \log 125$** $= \log (\frac{7}{4} : 14 : 125) = \log (\frac{7}{4} \cdot \frac{1}{14} \cdot \frac{1}{125}) = \log (\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{125}) = \log (\frac{1}{1000}) = \mathbf{-3}$. --- ### Ćwiczenie 5, strona 303 (Zapisz jako jeden logarytm) Trick: zamieniamy liczbę na logarytm, np. $2 = \log_3 3^2 = \log_3 9$. **a) $2 + \log_3 5$** $= \log_3 9 + \log_3 5 = \log_3 (9 \cdot 5) = \mathbf{\log_3 45}$. **b) $3\log_2 10 - 1$** $= \log_2 10^3 - \log_2 2 = \log_2 1000 - \log_2 2 = \log_2 500$. **c) $2\log_{\frac{1}{2}} 6 - 2$** $= \log_{\frac{1}{2}} 6^2 - \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^{-2}$ (to trochę trudne, prościej: $2 = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}$) $= \log_{\frac{1}{2}} 36 - \log_{\frac{1}{2}} 0,25 = \log_{\frac{1}{2}} (36 : 0,25) = \log_{\frac{1}{2}} (36 \cdot 4) = \mathbf{\log_{\frac{1}{2}} 144}$. **d) $4 - 2\log_3 6$** $= \log_3 3^4 - \log_3 6^2 = \log_3 81 - \log_3 36 = \log_3 \frac{81}{36} = \mathbf{\log_3 2,25}$ (lub $\log_3 \frac{9}{4}$). --- ### Zadanie 1, strona 304 **a) $\log_{12} 2 + \log_{12} 8 + \log_{12} 9$** $= \log_{12} (2 \cdot 8 \cdot 9) = \log_{12} 144 = \mathbf{2}$. **b) $\log_3 \frac{1}{12} + \log_3 \frac{14}{15} + \log_3 \frac{10}{21}$** $= \log_3 (\frac{1}{12} \cdot \frac{14}{15} \cdot \frac{10}{21}) = \log_3 (\frac{140}{3780}) = \log_3 \frac{1}{27} = \mathbf{-3}$. **c) $\log 0,12 - \log 0,3 + \log 25$** $= \log (\frac{0,12}{0,3} \cdot 25) = \log (0,4 \cdot 25) = \log 10 = \mathbf{1}$. **d) $\log_{0,2} 0,3 - \log_{0,2} 0,5 - \log_{0,2} 15$** $= \log_{0,2} (\frac{0,3}{0,5 \cdot 15}) = \log_{0,2} (\frac{0,3}{7,5}) = \log_{0,2} 0,04 = \mathbf{2}$ (bo $0,2^2 = 0,04$). --- ### Zadanie 5, strona 304 W zadaniu mamy informację: $\log_3 x = -\frac{1}{4}$. **a) $\log_3 9x^8$** $= \log_3 9 + \log_3 x^8 = 2 + 8\log_3 x = 2 + 8 \cdot (-\frac{1}{4}) = 2 - 2 = \mathbf{0}$. **b) $\log_3 \frac{x^4}{81}$** $= \log_3 x^4 - \log_3 81 = 4\log_3 x - 4 = 4 \cdot (-\frac{1}{4}) - 4 = -1 - 4 = \mathbf{-5}$. **c) $\log_3 \sqrt[4]{3x^6}$** $= \log_3 (3x^6)^{0,25} = 0,25 (\log_3 3 + \log_3 x^6) = 0,25 (1 + 6\log_3 x)$ $= 0,25 (1 + 6 \cdot (-\frac{1}{4})) = 0,25 (1 - 1,5) = 0,25 \cdot (-0,5) = \mathbf{-0,125}$ (lub $-\frac{1}{8}$). **d) $\log_3 \frac{27\sqrt[3]{x}}{x}$** $= \log_3 27 + \log_3 x^{1/3} - \log_3 x = 3 + \frac{1}{3}\log_3 x - \log_3 x$ $= 3 + \frac{1}{3}(-\frac{1}{4}) - (-\frac{1}{4}) = 3 - \frac{1}{12} + \frac{3}{12} = 3 + \frac{2}{12} = \mathbf{3\frac{1}{6}}$. --- ### Zadanie 8, strona 304 (Szacowanie wartości) Dane: $\log 4 \approx 0,6$ i $\log 5 \approx 0,7$. Wskazówka: $\log 4 = \log 2^2 = 2\log 2 \approx 0,6 \Rightarrow \log 2 \approx 0,3$. $\log 10 = 1$. **a) $\log 80$** $= \log (8 \cdot 10) = \log (2^3) + 1 = 3\log 2 + 1 \approx 3(0,3) + 1 = \mathbf{1,9}$. **b) $\log 50$** $= \log (5 \cdot 10) = \log 5 + 1 \approx 0,7 + 1 = \mathbf{1,7}$. **c) $\log \frac{5}{4}$** $= \log 5 - \log 4 \approx 0,7 - 0,6 = \mathbf{0,1}$. **d) $\log 0,5$** $= \log \frac{1}{2} = \log 1 - \log 2 = 0 - 0,3 = \mathbf{-0,3}$ (lub $\log 5 - \log 10 = 0,7 - 1 = -0,3$). **e) $\log 2,5$** $= \log \frac{5}{2} = \log 5 - \log 2 \approx 0,7 - 0,3 = \mathbf{0,4}$. **f) $\log 0,64$** $= \log \frac{64}{100} = \log \frac{4^3}{100} = 3\log 4 - 2 \approx 3(0,6) - 2 = 1,8 - 2 = \mathbf{-0,2}$. **g) $\log 5\sqrt{2}$** $= \log 5 + \frac{1}{2}\log 2 \approx 0,7 + 0,15 = \mathbf{0,85}$. **h) $\log 25\sqrt[4]{4}$** $= \log 5^2 + \log 4^{0,25} = 2\log 5 + 0,25\log 4 \approx 2(0,7) + 0,25(0,6) = 1,4 + 0,15 = \mathbf{1,55}$. --- ### Zadanie 1, strona 307 (Wykres funkcji logarytmicznej) Szukamy podstawy $a$ we wzorze $f(x) = \log_a x$, mając punkt $(x, y)$. Równanie: $y = \log_a x \Rightarrow a^y = x$. **a) $P(27, 3)$** $a^3 = 27 \Rightarrow \mathbf{a = 3}$. Wzór: $f(x) = \log_3 x$. **b) $P(625, 4)$** $a^4 = 625 \Rightarrow \mathbf{a = 5}$. **c) $P(32, -5)$** $a^{-5} = 32 \Rightarrow a^{-5} = 2^5 \Rightarrow a^{-5} = (\frac{1}{2})^{-5} \Rightarrow \mathbf{a = \frac{1}{2}}$. **d) $P(4, 4)$** $a^4 = 4 \Rightarrow a = \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}$. --- ### Ćwiczenie 3, strona 310 (Dziedzina i Asymptota) Logarytm ma sens tylko, gdy **wnętrze > 0**. Asymptota pionowa to linia, gdzie wnętrze = 0. **a) $f(x) = \log_2 (x-2) + 1$** * Dziedzina: $x-2 > 0 \Rightarrow x > 2 \Rightarrow D = (2; \infty)$. * Asymptota: $x = 2$. **c) $f(x) = \log_3 (x+2) - 1$** * Dziedzina: $x+2 > 0 \Rightarrow x > -2 \Rightarrow D = (-2; \infty)$. * Asymptota: $x = -2$. --- ### Ćwiczenie 1, strona 314 (Zmiana podstawy logarytmu) Wzór: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$. **a) $\log_{0,1} 7$, podstawa 10 (c=10)** $= \frac{\log 7}{\log 0,1} = \frac{\log 7}{-1} = \mathbf{-\log 7}$. **b) $\log_5 3$, podstawa 2 (c=2)** $= \mathbf{\frac{\log_2 3}{\log_2 5}}$. **c) $\log_7 11$, podstawa 49 (c=49)** $= \frac{\log_{49} 11}{\log_{49} 7}$. Mianownik: $\log_{49} 7 = 0,5$ (bo $\sqrt{49}=7$). Wynik: $\frac{\log_{49} 11}{0,5} = 2\log_{49} 11 = \mathbf{\log_{49} 121}$. **d) $\log 625$, podstawa 0,1** $= \frac{\log_{0,1} 625}{\log_{0,1} 10} = \frac{\log_{0,1} 625}{-1} = -\log_{0,1} 625$. --- ### Ćwiczenie 2, strona 314 (Łańcuszek logarytmiczny) Wzór: $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$. Można skracać "środki". **a) $\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdot \log_6 7 \cdot \log_7 8$** Skracają się 3 z 3, 4 z 4 itd. Zostaje podstawa pierwszego (2) i liczba ostatniego (8). $= \log_2 8 = \mathbf{3}$. **b) $\log 0,1 \cdot \log_{0,1} 0,01 \cdot \log_{0,01} 0,001 \cdot \log_{0,001} 0,0001$** Obliczamy każdy osobno, bo są proste: $\log 0,1 = -1$ $\log_{0,1} 0,01 = 2$ (bo $0,1^2 = 0,01$) $\log_{0,01} 0,001 = 1,5$ (bo $(10^{-2})^x = 10^{-3} \Rightarrow -2x=-3 \Rightarrow x=1,5$) $\log_{0,001} 0,0001 = \frac{4}{3}$ (bo $(10^{-3})^x = 10^{-4} \Rightarrow -3x=-4$) Mnożymy: $-1 \cdot 2 \cdot 1,5 \cdot \frac{4}{3} = -3 \cdot \frac{4}{3} = \mathbf{-4}$. --- To był solidny maraton. Przerobiliśmy wszystko, co potrzebne. Na sprawdzianie: 1. Pisz definicję logarytmu z boku kartki. 2. Pilnuj minusów przy ułamkach. 3. W nierównościach pamiętaj o odwracaniu znaku, gdy podstawa < 1. Powodzenia! Będzie dobrze! Jasne, to jest "Ostatni Mohikanin" – finałowa porcja zadań. Tutaj wchodzą zastosowania praktyczne (bakterie, izotopy) i zamiana podstaw logarytmu, co jest "wisienką na torcie" tego działu. Zróbmy to porządnie, żebyś poszedł na sprawdzian pewny siebie. --- ### Zadanie 1, strona 315 (Zamiana podstawy logarytmu) Polecenie: Przedstaw wyrażenie w postaci logarytmu o podstawie 2. Wzór, który tu rządzi: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$. U nas nowa podstawa $c=2$. **a) $\log_{16} 3$** $= \frac{\log_2 3}{\log_2 16} = \frac{\log_2 3}{4} = \frac{1}{4}\log_2 3 = \mathbf{\log_2 \sqrt[4]{3}}$. **b) $\log_{0,5} 7$** $= \frac{\log_2 7}{\log_2 0,5}$. Mianownik: $\log_2 \frac{1}{2} = -1$. $= \frac{\log_2 7}{-1} = -\log_2 7 = \mathbf{\log_2 \frac{1}{7}}$. **c) $\log_{\sqrt{2}} 11$** $= \frac{\log_2 11}{\log_2 \sqrt{2}}$. Mianownik: $\log_2 2^{1/2} = 0,5$. $= \frac{\log_2 11}{0,5} = 2\log_2 11 = \mathbf{\log_2 121}$ (bo $11^2=121$). **d) $\log_4 9$** $= \frac{\log_2 9}{\log_2 4} = \frac{\log_2 3^2}{2} = \frac{2\log_2 3}{2} = \mathbf{\log_2 3}$. **e) $\log_4 6 + \log_8 6$** Zamieniamy obie podstawy na 2. $\log_4 6 = \frac{\log_2 6}{2} = \frac{1}{2}\log_2 6$. $\log_8 6 = \frac{\log_2 6}{3} = \frac{1}{3}\log_2 6$. Suma: $(\frac{1}{2} + \frac{1}{3})\log_2 6 = \frac{5}{6}\log_2 6 = \mathbf{\log_2 6^{\frac{5}{6}}}$. **f) $\log_{\frac{1}{4}} 3 + \log_4 3 + \log_{0,125} 3$** Zamieniamy na podstawę 2: 1. $\log_{\frac{1}{4}} 3 = \frac{\log_2 3}{-2} = -\frac{1}{2}\log_2 3$. 2. $\log_4 3 = \frac{1}{2}\log_2 3$. 3. $\log_{0,125} 3 = \log_{1/8} 3 = \frac{\log_2 3}{-3} = -\frac{1}{3}\log_2 3$. Suma: $(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3})\log_2 3 = -\frac{1}{3}\log_2 3 = \mathbf{\log_2 3^{-\frac{1}{3}}}$ (lub $\log_2 \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$). --- ### Zadanie 2, strona 315 (Udowodnij równość) Musimy pokazać, że Lewa Strona (L) = Prawa Strona (P). **a) $\log_2 25 + \log_4 25 = \log_2 125$** L: $\log_2 25 + \frac{\log_2 25}{\log_2 4} = \log_2 25 + \frac{1}{2}\log_2 25 = 1,5\log_2 25$. $1,5\log_2 25 = \log_2 25^{1,5} = \log_2 (\sqrt{25})^3 = \log_2 5^3 = \log_2 125$. L = P. Zgadza się. **b) $\log_{0,1} 4 + \log_{0,01} 16 = \log \frac{1}{16}$** (podstawa 10 po prawej) L: $\frac{\log 4}{\log 0,1} + \frac{\log 16}{\log 0,01} = \frac{\log 4}{-1} + \frac{\log 16}{-2}$. $= -\log 4 - \frac{1}{2}\log 16 = -\log 4 - \log \sqrt{16} = -\log 4 - \log 4 = -2\log 4$. $-2\log 4 = \log 4^{-2} = \log \frac{1}{16}$. L = P. Zgadza się. **c) $\log_3 4 + \log_9 4 = \log_{\frac{1}{3}} 0,125$** L: $\log_3 4 + \frac{1}{2}\log_3 4 = 1,5\log_3 4 = \log_3 4^{1,5} = \log_3 (\sqrt{4})^3 = \log_3 8$. P: $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{8} = \frac{\log_3 (1/8)}{\log_3 (1/3)} = \frac{\log_3 8^{-1}}{-1} = \frac{-\log_3 8}{-1} = \log_3 8$. L = P. Zgadza się. --- ### Zadanie 4, strona 316 (Równania z $x$ w liczbie logarytmowanej) Sprowadzamy logarytmy do tej samej podstawy, żeby móc je "opuścić". **a) $\log_4 x = \log_{64} 125$** Prawa strona: $\log_{4^3} 125 = \frac{1}{3}\log_4 125 = \log_4 \sqrt[3]{125} = \log_4 5$. $\log_4 x = \log_4 5 \Rightarrow \mathbf{x = 5}$. **b) $\log_4 x = \log_{\sqrt{2}} 3$** Zamieniamy obie strony na podstawę 2 (najbezpieczniej). L: $\frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{1}{2}\log_2 x = \log_2 \sqrt{x}$. P: $\frac{\log_2 3}{\log_2 \sqrt{2}} = \frac{\log_2 3}{0,5} = 2\log_2 3 = \log_2 3^2 = \log_2 9$. $\log_2 \sqrt{x} = \log_2 9 \Rightarrow \sqrt{x} = 9 \Rightarrow \mathbf{x = 81}$. **c) $\log_4 x = \log_8 27$** Zamieniamy na podstawę 2. L: $\frac{1}{2}\log_2 x = \log_2 \sqrt{x}$. P: $\log_{2^3} 3^3 = \frac{3}{3}\log_2 3 = \log_2 3$. $\log_2 \sqrt{x} = \log_2 3 \Rightarrow \sqrt{x} = 3 \Rightarrow \mathbf{x = 9}$. **d) $\log_4 x = \log_{2\sqrt{2}} 10^5$** Podstawa 2. L: $\frac{1}{2}\log_2 x$. P: Podstawa $2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{0,5} = 2^{1,5}$. $\log_{2^{1,5}} 10^5 = \frac{1}{1,5} \cdot 5 \log_2 10 = \frac{2}{3} \cdot 5 \log_2 10 = \frac{10}{3}\log_2 10 = \log_2 10^{\frac{10}{3}}$. Równanie: $\frac{1}{2}\log_2 x = \log_2 10^{\frac{10}{3}}$. $\log_2 x^{\frac{1}{2}} = \log_2 10^{\frac{10}{3}}$. $x^{\frac{1}{2}} = 10^{\frac{10}{3}}$ (podnosimy do kwadratu). $x = 10^{\frac{20}{3}}$ (wynik w postaci potęgi jest najbezpieczniejszy, bo to ogromna liczba, $\sqrt[3]{10^{20}}$). --- ### Ćwiczenie 1, strona 317 (Bakterie) Wzór ogólny wzrostu: $y = y_0 \cdot a^t$. * $y_0 = 1200$ (na początku). * Po $t=6$ godzinach: $y = 10800$. * Szukamy $y$ po $t=10$. 1. **Obliczamy $a$:** $10800 = 1200 \cdot a^6$ $9 = a^6$ $a^2 = 3$ (bo $\sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2} = 3^{2/3}$... zostawmy $a^6=9$). $a = \sqrt[6]{9} = \sqrt[3]{3}$. 2. **Obliczamy ilość po 10h:** $y = 1200 \cdot a^{10}$. $y = 1200 \cdot (\sqrt[3]{3})^{10} = 1200 \cdot 3^{\frac{10}{3}}$. $3^{\frac{10}{3}} = 3^3 \cdot 3^{\frac{1}{3}} = 27 \cdot \sqrt[3]{3}$. $y = 1200 \cdot 27 \cdot \sqrt[3]{3} = 32400\sqrt[3]{3}$. (Jeśli na lekcji używaliście kalkulatora do przybliżeń: $3^{3,33} \approx 38,9$. Wtedy wynik to ok. 46 700 bakterii). --- ### Ćwiczenie 2, strona 318 (Rozpad radu) Wzór: $m = m_0 \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{1600}}$. **a) Kiedy ze 100 mg zostanie 12,5 mg?** $12,5 = 100 \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{1600}}$ $0,125 = (\frac{1}{2})^{\frac{t}{1600}}$ $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{\frac{t}{1600}}$ $(\frac{1}{2})^3 = (\frac{1}{2})^{\frac{t}{1600}}$ $3 = \frac{t}{1600}$ $t = 4800$ lat. **b) Kiedy z 10,24 mg zostanie 0,01 mg?** $0,01 = 10,24 \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{1600}}$ $\frac{1}{100} = \frac{1024}{100} \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{1600}}$ $1 = 1024 \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{1600}}$ $\frac{1}{1024} = (\frac{1}{2})^{\frac{t}{1600}}$ $(\frac{1}{2})^{10} = (\frac{1}{2})^{\frac{t}{1600}}$ (bo $2^{10}=1024$) $10 = \frac{t}{1600}$ $\mathbf{t = 16 000}$ lat. --- ### Zadanie 1, strona 319 (Czas połowicznego rozpadu) Wzór na czas połowicznego rozpadu $T$: $m = m_0 \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}}$ **a) Jod-131** * Masa początkowa: 4,8 g. * Po 16 dniach ($t=16$) zostało: 1,2 g. * Zauważ zależność: $4,8 \xrightarrow{T} 2,4 \xrightarrow{T} 1,2$. Masa zmalała 4-krotnie, czyli minęły **2 okresy** połowicznego rozpadu. $2T = 16$ dni $\mathbf{T = 8}$ dni. **b) Neptun-239** * Masa początkowa: 40 g. * Po 7 dniach zostało: 5 g. * Zależność: $40 \xrightarrow{T} 20 \xrightarrow{T} 10 \xrightarrow{T} 5$. Masa zmalała 8-krotnie, czyli minęły **3 okresy** (bo $2^3=8$). $3T = 7$ dni $\mathbf{T = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}}$ dnia (czyli 2 dni i 8 godzin). --- To wszystko! Przerobiłeś ogromną ilość materiału. Kluczowe punkty na jutro: 1. **Wspólna podstawa** przy równaniach wykładniczych. 2. **Odwracanie znaku** w nierównościach, gdy podstawa $< 1$. 3. **Definicja logarytmu:** $a^c = b$. 4. Wzory na sumę/różnicę logarytmów. Wyśpij się teraz, mózg musi to poukładać. Powodzenia na sprawdzianie, rozwal to! OSTATNIE POWTORZENIE PRZED SPRAWDZIANEM Zadanie 9 Zadanie 3 i 4 Zadanie 7 i 8 Zadanie 12 Zadanie 15 wszystkie z z 324 i te: i z zestawu powtorzeniowego nr 1: 1 (podpunkty a, b, c...), 2, 3 oraz 4. To jest Twój ostatni „trening przed bitwą”. Skupimy się na tym, żebyś nie tylko miał wyniki, ale rozumiał **dlaczego** tak jest. Na sprawdzianie z potęg i logarytmów kluczem jest sprowadzanie wszystkiego do **tej samej podstawy**. --- ### ZESTAW I (str. 324) #### Zadanie 1. Oblicz. **Wzory:** $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$, $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$, $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$ * **a) $\frac{2^{-3} \cdot 4^{-2}}{2^{-6}}$** * **Krok 1:** Zmień 4 na potęgę dwójki: $4 = 2^2$. * **Krok 2:** $\frac{2^{-3} \cdot (2^2)^{-2}}{2^{-6}} = \frac{2^{-3} \cdot 2^{-4}}{2^{-6}}$ * **Krok 3:** Licznik: dodajemy wykładniki: $2^{-3-4} = 2^{-7}$. * **Krok 4:** Dzielenie: odejmujemy wykładniki: $2^{-7 - (-6)} = 2^{-7+6} = 2^{-1} = \mathbf{\frac{1}{2}}$ * **b) $\frac{10^{-2}}{5^{-6} \cdot 25^2} = \frac{(2 \cdot 5)^{-2}}{5^{-6} \cdot (5^2)^2} = \frac{2^{-2} \cdot 5^{-2}}{5^{-6} \cdot 5^4} = \frac{2^{-2} \cdot 5^{-2}}{5^{-2}} = 2^{-2} = \mathbf{\frac{1}{4}}$** * **c) $\frac{6^4 \cdot 9^{-4}}{4^2 \cdot 12^{-1}} = \frac{(2 \cdot 3)^4 \cdot (3^2)^{-4}}{(2^2)^2 \cdot (2^2 \cdot 3)^{-1}} = \frac{2^4 \cdot 3^4 \cdot 3^{-8}}{2^4 \cdot 2^{-2} \cdot 3^{-1}} = \frac{2^4 \cdot 3^{-4}}{2^2 \cdot 3^{-1}} = 2^{4-2} \cdot 3^{-4-(-1)} = 2^2 \cdot 3^{-3} = \frac{4}{27}$** * **d) $\frac{16^{-2} \cdot 125^{-3}}{10^{-4} \cdot 25^{-2}} = \frac{(2^4)^{-2} \cdot (5^3)^{-3}}{(2 \cdot 5)^{-4} \cdot (5^2)^{-2}} = \frac{2^{-8} \cdot 5^{-9}}{2^{-4} \cdot 5^{-4} \cdot 5^{-4}} = \frac{2^{-8} \cdot 5^{-9}}{2^{-4} \cdot 5^{-8}} = 2^{-4} \cdot 5^{-1} = \frac{1}{16 \cdot 5} = \mathbf{\frac{1}{80}}$** #### Zadanie 2. Oblicz (wykładniki wymierne). **Wzór:** $a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n}$ * **a) $25^{\frac{3}{2}} \cdot 125^{-\frac{1}{3}} = (5^2)^{\frac{3}{2}} \cdot (5^3)^{-\frac{1}{3}} = 5^3 \cdot 5^{-1} = 5^2 = \mathbf{25}$** * **b) $64^{-\frac{1}{2}} \cdot 8^{\frac{5}{3}} = (2^6)^{-\frac{1}{2}} \cdot (2^3)^{\frac{5}{3}} = 2^{-3} \cdot 2^5 = 2^2 = \mathbf{4}$** * **c) $8^{\frac{2}{3}} \cdot 32^{-\frac{2}{5}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} \cdot (2^5)^{-\frac{2}{5}} = 2^2 \cdot 2^{-2} = 2^0 = \mathbf{1}$** * **d) $0,001^{-\frac{1}{3}} \cdot 0,09^{\frac{1}{2}} = (10^{-3})^{-\frac{1}{3}} \cdot (0,3^2)^{\frac{1}{2}} = 10^1 \cdot 0,3^1 = \mathbf{3}$** #### Zadanie 3. Oblicz (mieszane). * **a) $5^{\frac{5}{8}} \cdot \sqrt{5} \cdot 5^{-\frac{1}{8}} = 5^{\frac{5}{8}} \cdot 5^{\frac{4}{8}} \cdot 5^{-\frac{1}{8}} = 5^{\frac{5+4-1}{8}} = 5^1 = \mathbf{5}$** * **b) $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{2}} \cdot 2^{\frac{7}{6}} = \frac{2^{\frac{2}{6}}}{2^{\frac{3}{6}}} \cdot 2^{\frac{7}{6}} = 2^{\frac{2-3+7}{6}} = 2^{\frac{6}{6}} = \mathbf{2}$** * **c) $\sqrt[3]{100} \cdot 5^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = (10^2)^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 10^{\frac{2}{3}} \cdot (5 \cdot 2^2)^{\frac{1}{3}}$** (lepiej inaczej): $= (2^2 \cdot 5^2)^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{4}{3}} \cdot 5^1 = \mathbf{5\sqrt[3]{16}} = 10\sqrt[3]{2}$ * **d) $\frac{11^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{44}} \cdot \left(\frac{2}{11}\right)^3 = \frac{11^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 11^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2^3}{11^3} = \frac{11^1}{2} \cdot \frac{8}{11^3} = \frac{4}{11^2} = \mathbf{\frac{4}{121}}$** #### Zadanie 4. Zapisz w postaci $a^x$. * **a) $3^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{\sqrt{27}}{9} = 3^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3^{\frac{3}{2}}}{3^2} = 3^{\frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 2} = 3^{\frac{2+9-12}{6}} = \mathbf{3^{-\frac{1}{6}}}$** * **b) $\sqrt[4]{3\sqrt{3}} = (3 \cdot 3^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{4}} = (3^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{4}} = \mathbf{3^{\frac{3}{8}}}$** * **c) $\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{5}}} = (5 \cdot (5 \cdot 5^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} = (5 \cdot 5^{\frac{3}{4}})^{\frac{1}{2}} = (5^{\frac{7}{4}})^{\frac{1}{2}} = \mathbf{5^{\frac{7}{8}}}$** * **d) $\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{8} = 2^{\frac{4}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{3}{4}} = 2^{\frac{16+6+9}{12}} = \mathbf{2^{\frac{31}{12}}}$** --- ### ZADANIA GŁÓWNE (str. 324-326) #### Zadanie 7. Wyznacz wzór $f(x)=a^x$. * **a) $P(\frac{5}{2}, 32)$:** $a^{\frac{5}{2}} = 32 \Rightarrow a^{\frac{5}{2}} = 2^5 \Rightarrow (a^{\frac{1}{2}})^5 = 2^5 \Rightarrow \sqrt{a} = 2 \Rightarrow \mathbf{a=4}$. * **b) $P(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$:** $a^{\frac{1}{2}} = \frac{2^{\frac{1}{2}}}{2^1} = 2^{-\frac{1}{2}} \Rightarrow \sqrt{a} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \mathbf{a=\frac{1}{2}}$. * **c) $P(-6, 729)$:** $a^{-6} = 3^6 \Rightarrow \frac{1}{a^6} = 3^6 \Rightarrow a^6 = \frac{1}{3^6} \Rightarrow \mathbf{a=\frac{1}{3}}$. #### Zadanie 8. Wykresy, ZW i Miejsca Zerowe. *Pamiętaj: Asymptota to liczba "stojąca luzem" na końcu.* * **a) $f(x) = 2^x - 4$**: ZW: $(-4; \infty)$. MZ: $2^x-4=0 \Rightarrow 2^x=2^2 \Rightarrow \mathbf{x=2}$. * **b) $f(x) = 3^{x-1} + 2$**: ZW: $(2; \infty)$. MZ: $3^{x-1}=-2$ (**brak**, potęga nie może być ujemna). * **c) $f(x) = 2 + 2^{-x}$**: ZW: $(2; \infty)$. MZ: **brak**. * **d) $f(x) = 4 - 2^x$**: ZW: $(-\infty; 4)$. MZ: $4-2^x=0 \Rightarrow 2^x=2^2 \Rightarrow \mathbf{x=2}$. * **e) $f(x) = 1 - 3^{-x}$**: ZW: $(-\infty; 1)$. MZ: $1-3^{-x}=0 \Rightarrow 3^{-x}=3^0 \Rightarrow \mathbf{x=0}$. * **f) $f(x) = 4 \cdot 2^{2x} - 4 = 4 \cdot 4^x - 4$**: ZW: $(-4; \infty)$. MZ: $4 \cdot 4^x = 4 \Rightarrow 4^x = 1 \Rightarrow \mathbf{x=0}$. #### Zadanie 9. Logarytmy (Oblicz). **Definicja:** $\log_a b = x \iff a^x = b$ * a) $\log_3 27 = \mathbf{3}$ (bo $3^3=27$) | d) $\log_{\frac{1}{27}} 3 = \mathbf{-\frac{1}{3}}$ | g) $\log_{\sqrt{3}} 27 = \mathbf{6}$ (bo $(\sqrt{3})^6 = 3^3$) * j) $27^{\log_3 2} = (3^3)^{\log_3 2} = 3^{\log_3 2^3} = 2^3 = \mathbf{8}$ * l) $3^{1-\log_3 2} = \frac{3^1}{3^{\log_3 2}} = \frac{3}{2} = \mathbf{1,5}$ #### Zadanie 12. Równania (str. 325). **Wzór:** $\log a + \log b = \log(a \cdot b)$, $\log a - \log b = \log(a/b)$ * **a) $\log_6 x = \log_6 4 + \log_6 9 \Rightarrow \log_6 x = \log_6 (4 \cdot 9) \Rightarrow \mathbf{x = 36}$** * **b) $\log_3 x = \log_3 18 - \log_3 2 \Rightarrow \log_3 x = \log_3 (18:2) \Rightarrow \mathbf{x = 9}$** * **c) $\log x = 2\log 5 + \log 4 \Rightarrow \log x = \log 5^2 + \log 4 = \log(25 \cdot 4) \Rightarrow \mathbf{x = 100}$** * **d) $\log x = \log 80 - 3\log 2 \Rightarrow \log x = \log 80 - \log 2^3 = \log(80:8) \Rightarrow \mathbf{x = 10}$** #### Zadanie 15. Największa wartość (str. 326). * **a) $f(x) = \log_3(x+4) + \log_3(2-x)$ w $\langle -3; 1 \rangle$** Wzór: $f(x) = \log_3[(x+4)(2-x)] = \log_3(-x^2 - 2x + 8)$. Szukamy wierzchołka paraboli wewnątrz logarytmu: $p = \frac{-b}{2a} = \frac{2}{-2} = -1$. Dla $x=-1$ mamy maksimum: $-(-1)^2 - 2(-1) + 8 = -1+2+8 = 9$. $f(-1) = \log_3 9 = \mathbf{2}$. * **b) $f(x) = |\log_{\frac{1}{4}}(x-6) + \log_{\frac{1}{4}}(10-x)|$ w $\langle 7; 9 \rangle$** Wnętrze: $\log_{\frac{1}{4}}[(x-6)(10-x)] = \log_{\frac{1}{4}}(-x^2+16x-60)$. Wierzchołek: $p = \frac{-16}{-2} = 8$. Dla $x=8$ wartość: $-64+128-60 = 4$. $\log_{\frac{1}{4}} 4 = -1$. Nakładamy moduł: $|-1| = \mathbf{1}$. Powodzenia! Skup się, czytaj uważnie polecenia i pamiętaj o dziedzinie logarytmu (liczba logarytmowana musi być > 0)!